forceBeamColumn和dispBeamColumn

通过之前的学习，相信你对OpenSees已经有了初步的了解。但你仍然会有疑问，为什么这样一款奇奇怪怪的软件会如此风靡。它的流行绝不仅仅是因为它逼（hao）格（fa）很（lun）高（wen），而是确有其出众之处。其中之一就是它丰富的单元库，它为求解复杂问题提供了支持。今天我们就简要谈一下两种单元： dispBeamColumn 和 forceBeamColumn 。这两种单元名字类似，功能相近，初识之下，往往不知如何选择。

dispBeamColumn 的全称是Displacement-Based Beam-Column Element即基于位移的梁柱单元（以下简称DBC），而 forceBeamColumn 的全称是Force-Based Beam-Column Element，即基于力的梁柱单元（以下简称FBC）。下面就两者的共性与特性进行说明。

两种单元有如下共性：均适用于细长梁，即符合平截面假定，弯矩与曲率成线性关系，忽略剪切变形的影响。对于深梁，模拟效果不佳。

两种单元的区别，从字面意思上来说，DBC是以位移作为基本未知量；而FBC是以力作为基本未知量。看到这里，想必你已经想到了自己失传多年的结构力学—— 位移法 和 力法 。拓展到有限元中，它们有了更加通用的名字： 刚度法 和 柔度法 。DBC以位移作为基本未知量，通过构造刚度矩阵和力矩阵来求解位移，再由节点位移计算其他参数，原理是刚度法。而FBC以力作为基本未知量，通过构造柔度矩阵和位移矩阵求解力，再从力出发，计算其他参数，原理是柔度法。乍看没什么区别，在结构力学中，我们也知道力法和位移法是等价的。所以为什么要这么费劲构造两种单元呢？

这是因为，在非线性很强的情况下，如，材料存在刚度退化或构件曲率变化剧烈时，DBC即使细化单元仍常出现数值计算的不稳定甚至难以收敛；相比之下，FBC仍可以获得较精确的解答。这又是为什么呢？

这一切的根源在于插值函数的选取。在刚度法中， 位移插值函数 也叫 形函数 。 形函数 是人为近似假定的，如用2节点线性元或3节点二次元表示一根梁的变形。为了提高拟合精度，要么选择用多个低阶单元代替梁（即划更密的网格），要么选择用更高阶的单元来拟合。但由于形函数构造的变形形状与实际变形并不一致，当出现强烈非线性行为时，即使采用高次元，或细化网格，也往往难以达到非常精确的拟合效果。由于刚度法是从位移出发，出发点引起的误差，将向刚度矩阵和力矩阵传递，所以后续求解过程精度均受到影响，导致数值计算的不稳定或收敛困难。

那么，柔度法就可以解决这个问题吗？答案是肯定的。柔度法的插值函数称为 力插值函数 。以平面梁单元为例，在平截面假定下，扒出材料力学中就收获的微分关系。

在平截面假定下，这一微分关系是精确的。假设梁不存在分布荷载，即微分方程右侧为0。

Note

这个假设并不是必要的，我只是懒得写一长串积分而已

则有：

其中矩阵B即为力插值函数。可知，在以力为基本未知量的柔度法中，插值函数是精确的。以此为出发点，在后续的推导中，可以获得精确的结果。

由于插值函数的精度差异，柔度法的求解精度更高。但这在普通线弹性问题中，是看不出来的。因为这时，位移插值函数构造变形与实际变形接近，亦能获得很高精度的解答。

那么，既然FBC有如此优点，为什么还需要DBC呢？其实在很多年以前，人们就意识到了柔度法的优势，但是对于一般力学问题，刚度法的计算速度更快。更重要的原因是，柔度法的程序实现很困难，其中原因也不是一两句话能讲完，相信你看到这里已经实在要看不下去了，不如我们下回分解吧。

经过多年的研究，FBC终于由Oregon State University的 Michael H. Scott 博士写进了OpenSees里。从中也可以看出，OpenSees由于其开源的特性，博采众家之长，在很短的时间里，就爆炸式地发展了起来，具有了一些传统软件所不具备的求解能力。